Nel precedente articolo abbiamo introdotto un particolare processo stocastico: il Moto Browniano. A differenza della passeggiata aleatoria, il Moto Browniano è un processo stocastico a a valori reali, cioè le variabile aleatorie che formano il processo sono assolutamente continue. Possiamo perciò affermare che un processo stocastico {B(t): t≥0} è detto “Moto Browniano” con punto di partenza x se:
- B(0) = x (se x = 0, il processo viene detto Moto Browniano Standardizzato)
- Il processo ha incrementi indipendenti, cioè per ogni tempo t1 ≤ t2 ≤ … ≤ tn gli incrementi B(tn) – B(t(n-1)), B(t(n-1)) – B(t(n-1)), … , B(t2) – B(t1) sono variabili aleatorie indipendenti
- Per ogni valore t ≥ 0 e h > 0, gli incremento B(t+h) – B(t) sono distribuiti come una normale di media zero e varianza h
- La funzione t –> B(t) è continua in t, con probabilità pari a 1.
Quest’ultima proprietà permette di intuire il motivo per il quale il Moto Browniano viene considerato, nell’ambito dei processi stocastici, l’equivalente della distribuzione Gaussiana nell’ambito delle variabili aleatorie; per questo motivo infatti un processo aleatorio, secondo il teorema di Donsker, tende ad un Moto Browniano Standardizzato.
DANIELE PETRONE 