PROCESSI STOCASTICI E RANDOM WALK

Un processo aleatorio, o stocastico, è una famiglia, o collezione, di variabili aleatorie X caratterizzata mediante un indice temporale t. I processi possono essere classificati in due modi: in base ai valori che possono assumere le variabili aleatorie (in questo caso si parla di processi a valori continui, se la variabile aleatoria è assolutamente continua, e di processi a valori discreti, se le variabili aleatorie del processo sono discrete), ed in base ai valori che possono essere assunti dall’indice temporale (parleremo di processo con parametro continuo, se l’indice di tempo varia nel continuo, e di processo con parametro discreto, se l’indice temporale varia nel discreto). Fissato il tempo t si può osservare la realizzazione della variabile aleatoria X(t) in quell’istante di tempo; osservando le realizzazioni di tutta la collezione di variabili aleatorie, si ottiene quella che viene chiamata realizzazione del processo.

Il processo stocastico più semplice è la passeggiata aleatoria, anche detta random walk. La passeggiata aleatoria semplice è una successione di variabili aleatorie che definiscono un processo stocastico discreto a valori discreti. Poiché ogni variabile aleatoria che forma il processo è una variabile di Bernoulli, il processo viene anche detto “Processo di Bernoulli”. Ad ogni istante temporale si registrerà quindi un valore 0 o 1, rispettivamente con probabilità q (= 1-p) e p. Dal punto di vista monodimensionale, una random walk può essere vista come il percorso eseguito da una particella, che ad ogni intervallo si muoverà verso destra con probabilità p, e verso sinistra con probabilità q. Questi spostamenti sono tra loro indipendenti, cioè non sono influenzati dallo spostamento precedente. Il punto di arrivo della particella, che indichiamo con S(n) dove n è l’ultimo istante di tempo osservato, è ottenuto sommando le realizzazioni del processo per ogni istante di tempo, perciò possiamo scrivere che S(n) = X(1) + X(2) + … + X(n). Possiamo perciò affermare che S(n) si distribuisce secondo una binomia Bin(n,p).