DEFINIZIONE DIFFERENZIALE DEL PROCESSO DI WIENER

Per il teorema del limite centrale funzionale, gli incrementi del processo di Wiener, o Brownian motion, sono indipendenti e stazionari e hanno distribuzione normale

In realtà è possibile generalizzare questo aspetto, ottenendo così il Processo di Wiener Generalizzato, in cui la media è diversa da zero e la varianza è moltiplicata per un fattore di scala.

Nel caso stazionario si ha che:

dove l’incremento $I_t$ si distribuisce secondo una normale $N(0, \Delta t)$ . Tale relazione può essere anche scritta nel seguente modo:

dove Z_t è una normale standardizzata $N(0, \Delta t)$ .

Nel caso generale del processo invece gli incrementi si distribuiscono secondo una normale $N(\mu \Delta t ,\sigma^2 \Delta t)$ , da cui ne segue:

P{t+\Delta t}=P_t+\mu \Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t}Z_t

Una particolarità del moto Browniano è che, essendo una variabile assolutamente continua, può essere rappresentato anche sotto forma di equazioni differenziali, con incrementi infinitamente piccoli. Tali equazioni prendono il nome di Stochastic Differential Equation (SDE).

Nel caso di incremento stazionario si ha che $dP_t=\sqrt{dt}Z_t=dW_t$ dove $dW_t$ è detto incremento di Wiener.

Nel caso generalizzato invece si ha che $dP_t=\mu dt+\sigma \sqrt{dt}Z_t$ . La prima componente viene chiamata drift, mentre la seconda può essere riscritta come incremento di Wiener moltiplicato per un fattore pari a $\sigma$ .

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