L’Arithmetic Brownian Motion (ABM) procede per incrementi additivi e pur partendo da un prezzo iniziale relativamente alto, con un tempo sufficientemente ampio (poichè la varianza è proporzionale al tempo che trascorre), si potrebbero ottenere anche valori negativi. Pertanto, il modello ABM non è adeguato ad uno scenario finanziario dal momento che potrebbe generare prezzi negativi che non sono realistici. Un altro problema è che quando si rapportano prezzi di beni o di stock non si ragiona in termini additivi, ma si ragiona in termini di tasso di incremento (di quanto varia in termini percentuali il prezzo di un certo bene).
L’incremento assoluto di un bene dipende anche dal prezzo iniziale ed è per questo motivo che, dal punto di vista finanziario, l’aspetto importante è l’incremento relativo, ovvero:
Questa espressione è detta tasso di incremento o return. Quindi, si può passare da una forma additiva ad una forma moltiplicativa del tipo:
Da cui si può ricavare l’equazione differenziale:
Questa differente definizione del Brownian Motion prende il nome di Geometric Brownian Motion (GBM).
Se nell’ABM l’incremento dei prezzi è definito come una N(0, Δt) e le distribuzioni dei prezzi, allo stesso modo, sono normali, in GBM la situazione è differente. Infatti, il differenziale del prezzo non è più una somma di normali (e, di conseguenza, non è più una normale), ma corrisponde ad un prodotto. Quindi, per verificare la distribuzione del prezzo, occorre eliminare il prodotto 
In questo modo, si ottiene una somma di normali e, di conseguenza, una normale: ln(P) è una normale e, in questo caso, si dice che P si distribuisce secondo una Log-Normale. Quindi, per definizione, la distribuzione dei prezzi in GBM è una log-normale. Considerando questo modello, dato che la log-normale è definita in (0, ∞), i prezzi non potranno più essere negativi e quindi riesce ad essere applicabile per uno scenario finanziario.
DANIELE PETRONE 