Uno dei principali processi aleatori è il processo di Poisson, un particolare tipo di processo di conteggio. Indicando con {N (t): t ≥ 0} il processo di conteggio di intensità λ > 0, esso rappresenta un processo di Poisson se si verificano le seguenti proprietà:
1. N(0) = 0;
2. Il processo è a incrementi indipendenti e stazionari;
3. Il numero di salti che si verificano in un intervallo di tempo di lunghezza t ≥ 0 segue la distribuzione di Poisson di parametro λt, vale a dire, che per ogni s ≥ 0 ed ogni t ≥ 0, si ha:
Con il termine “salti” si intende la divisione del tempo in istanti casuali, che, nelle applicazioni, sono i momenti in cui si verificano certi eventi specifici.
La variabile aleatoria di Poisson, gode di grande successo poiché è fortemente collegata a molte altre variabili aleatorie. E’ risaputo che la somma di variabili stocastiche bernoulliane danno vita a una variabile aleatoria binomiale, ma forse non è noto a tutti che per n che tende ad infinito, e posto λ=np costante, la distribuzione binomiale può essere approssimata a una distribuzione di Poisson. La distribuzione di Poisson, inoltre, grazie al Teorema Del Limite Centrale, può essere approssimata alla distribuzione Normale. Un ultimo risultato noto, che lega quest’affascinante distribuzione ad un’altra distribuzione, è che i tempi di inter-arrivo, cioè la distanza tra due salti, si distribuiscono secondo una esponenziale negativa.
Al seguente link è disponibile un file .pdf contenente le dimostrazioni di questi ultimi due risultati citati.
https://drive.google.com/file/d/1cf6_VKFuJJaiuFNaCoyQDjpJ3-yLlSdQ/view?usp=sharing
DANIELE PETRONE 