Negli articoli precedenti abbiamo visto come il processo aleatorio GBM, cioè Geometric Brownian Motion, sia preferibile al processo stocastico ABM, cioè Arithmetic Brownian Motion, quando si producono modelli per l’andamento di prezzi. Anche il GBM però può essere considerato inadatto, poiché in questa tipologia di processo aleatorio, la media e la varianza restano costanti per tutto l’intervallo di tempo considerato, e questa è una semplificazione troppo forte. Per questo motivo nasce la necessità di considerare un nuovo fattore, cioè il concetto di Mean Reversion.
Si è osservato che molti strumenti finanziari, soprattutto quelli riguardanti le materie prime, hanno fluttuazioni intorno ad un prezzo d’equilibrio. Come abbiamo visto nei precedenti articoli e nelle simulazioni, anch’esse presenti e disponibili su sito nella sezione “APPLICAZIONI”, i due processi GBM e ABM non sono in grado di descrivere questa particolare situazione. Il processo più semplice appartenente alla categoria dei processi con mean reversion è il processo di Ornestein-Uhlenbeck. Il processo può essere considerato come una modifica del Moto Browniano in cui il processo ha la tendenza di tornare indietro verso una posizione centrale, con un maggiore attrazione quando il processo è più lontano dal centro. Come per Moto Browniano, esistono due versioni del processo di OU, una considerata il caso generale, e l’altra considerata un caso particolare della generale, in cui la media è pari a 0 e la varianza pari a 1. Mettiamo ora a confronto le formule SDE del BM e del processo di OU.
Confrontando le due equazioni, si può notare che l’unica parte che differisce è il primo addendo del secondo membro. Il secondo addendo, infatti, rimane invariato in entrambi i casi. Nell’equazione SDE del processo di Ornestein-Uhlenbeck, la componente sistematica che rappresenta la media, viene sostituita con un particolare prodotto. La reversion speed rappresenta, infatti, la velocità con cui il prezzo corrente torna al prezzo d’equilibrio; come già accennato precedentemente, il prezzo attuale tende a tornare verso il prezzo d’equilibrio più velocemente tanto più è lontano.
Grazie a questo particolare processo aleatorio, è creare modelli in grado di simulare prezzi più realisti. Vasicek fu il primo, nel 1977, ad utilizzare questo processo in un modello. Tale modello viene considerato un modello aleatorio d’investimento, ma originariamente fu utilizzato per modellizzare i tassi d’interesse.
DANIELE PETRONE 